1.2 Imagen
1. Imagen de una función
Definición: La imagen de una función f es el conjunto de todas las imagenes.
Im(f)={f(x): x en Dom(f)}
Observación: Si f es una función. Im(f) es subconjunto del Codominio de f.
2. Ejemplos
Ejemplo 1. Imagen de la función f
Ejemplo 2: Determina la imagen de la función f(x)=1/x
Solución: Sabemos que Dom(f)=R\{0}. Vamos a suponer que el número a está en la Img(f). Entonces planteamos la ecuación:
1/x=a
cuya solución es: x=1/a.
Para esto; a deberá ser un número real distinto de cero.
Esto es; f(1/a)=a.
Por lo tanto; Img(f)=R\{0}.
Ejemplo 3: Determina la imagen de la función f(x) = 5 / (x2 -16), ver ejemplo1 de la sección de límites notables.
Ejemplo 4: Determina la imagen de la función g(x)=3x+2, con Dom(g)=[1, 7].
Solución: Puesto que Dom(g)=[1,7], tenenos que: 1<x<7.
Multiplicando las desigualdades por 3.
Tenemos entonces 3*1<3*x<3*7, es decir,
3<3x<21.
Sumando 2 a las desigualdades, tenemos: 3+2<3x+2<21+2, esto es,
5<3x+2<23.
Esto es: 5<g(x)<23.
Por lo tanto; Im(g)=[5, 23].
Ejemplo 5: Determina la imagen de la función f(x)=3x-1, con Dom(f)=(-2, 3).
Solución:
Ejemplo 6: Determina la imagen de la función f(x)=2-x2, con Dom(f)=(-2, 3).
Ejemplo 7:
Ejemplo 8:
3. Ejercicios para asesoría.
1. Hallar la imagen de la siguiente función:
{(0, ¾ ), (1, ¼), (-2, 0.5), (-6, -2/3), (-1, 1), (3, 1/7), (2, 4), (1/3, 1/5), (0.2, 10) }
2. Hallar la imagen de la función f(x) = 2 - x², para -3< x <5
3. Hallar la imagen de la función g(x) = 5x-1, para -4<x <1