6. Desigualdades con valor absoluto

1. Desigualdades con valor absoluto

Definición: Si c es un numero real, con c > 0.

• |x| < c  si, y sólo si,  -c <x < c  si, y sólo si,  x en  (-c, c)
• |x|≤c  si, y sólo si,  -c ≤ x ≤ c  si, y sólo si,  x  en  [-c, c]
• |x|>c  si, y sólo si,  x < -c  ó  x > c  si, y sólo si,  x  en  (-∞, -c) U (c, +∞)
  
• |x|≥c  si, y sólo si,  x ≤ -c  ó  x ≥ c  si, y sólo si,  x  en  (-∞, -c] U [c, +∞)

2. Ejemplos

Resolver la desigualdad siguiente:

1. |x| < 4. 

Solución: |x|<4 si, y sólo si, -4<x<4 si, y sólo si, x en (-4,4).

2. |2x| ≤ 10.

Solución: |2x|≤10 si, y sólo si, -10≤2x≤10 si, y sólo si,-10/2 ≤ 2x/2 ≤ 10/2 si, y sólo si, -5 ≤ x ≤5 si, y sólo si, x en [-5,5].


3. |2-4x| ≤ 8.

Solución: |2-4x|≤8 si, y sólo si, -8≤2-4x≤8 si, y sólo si,-2 -8 ≤ -2+2-4x ≤ -2+8 si, y sólo si, -10 ≤ -4x ≤ 6 si, y sólo si, -10/-4 ≥ -4x/-4 ≥ 6/-4 si, y sólo si, 2.5 ≥ x ≥ -1.5 si, y sólo si, x en [-1.5, 2.5].

4. |3x-5| ≤ 5.

Solución: |2x-5|≤5 si, y sólo si, -5≤2x-5≤5 si, y sólo si,-5+5 ≤ 2x-5+5 ≤5+5 si, y sólo si, 0 ≤ 2x ≤10 si, y sólo si, 0/2≤ 2x/2 ≤10/2 si, y sólo si, 0 ≤ x ≤5 si, y sólo si  x en [0,5].

5. |3x-4| ≥ 21.

Solución: |3x-4|≥21 si, y sólo si:

Caso 1. 3x-4 ≤-21

3x-4+4 ≤-21+4

3x ≤-17

x ≤-17/3

x ≤-5.6^-

x en (-∞, -5.6^- )

Caso 2. 3x-4 ≥21

3x-4+4 ≥ 21+4

3x ≥ 25

x ≥ 25/3

x ≥ 8.3^-

x en (8.3^- , +∞)

Por lo que la solución es: x en (-∞, -5.6^- ) U (8.3^- , +∞).

3. Desigualdad del triángulo

En esta sección vamos a considerar la importante desigualdad del triángulo, cuya importancia se revela en la demostración del teorema del límite inverso multiplicativo. 

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4. Ejercicios para asesoría

Resolver las desigualdades siguientes:

1. |2x-3| < 4

2. |-2x-2| < 12

3. |5x-3| ≤ 7

4. |2x-5| > 1