3. Función exponencial

1. Funcion exponencial

Definición: Para a>0, la función exponencial con base a está definida por

f(x)=a^x

Observación: Para a>0, a ≠ 1 la función exponencial con base a cumple:

a) Dominio (a^x)= (-∞, + ∞)

b) Imagen (a^x)= (0, + ∞)

2. Propiedades de las exponenciales

Teorema: Sea a>0.

A) a^x+y=a^x a^y

B) a ^x^-^y=a^x/a^y

C) a ^x^y=(a^x)^y

3. Gráficas de función exponencial

4. Crecimiento exponencial

Definición: El crecimiento compuesto de una cantidad, en el número de tiempo n está dado por:

A_n=P(1+r/100)ⁿ

donde:

P es la cantidad inicial.
n es el número de tiempo.
r es la tasa de crecimiento en %.

Ejemplo: Supongamos que el litro de gasolina está en $14 pesos y este se incrementa 1% cada mes. Calcular el precio de gasolina en 269 meses.

Solución:

A₂₆₉=(14)(1+ 1/100)²⁶⁹A₂₆₉=(14)(101/100)²⁶⁹A₂₆₉=203.506

5. Ejemplos

1. Actualmente en México, el salario mínimo es en promedio de $70 pesos el día. Supongamos que el salario mínimo se incrementa $0.5 pesos al mes.
También es cierto que el litro de gasolina es de alrededor de $14 pesos. Supongamos que el litro de gasolina aumenta un 1% mensualmente.
¿Cuánto tiempo tendrá que pasar para que el litro de gasolina sea igual al salario mínimo?

Solución: En esta ocasión vamos a hacer uso de una graficadora.
El modelo matemático que describe el comportamiento del salario mínimo en el mes x, está dada por la función lineal:

s(x)=0.5x+70

donde s(x) significa el salario mínimo en el mes x.

El modelo matemático que describe el precio del litro de gasolina en el mes x, es la función exponencial:

g(x)=14(101/100)^x

Donde g(x) es el precio del litro de gasolina en el mes x.

Veamos la gráfica de las dos funciones y su punto de intersección.

De manera que en aproximadamente 269 meses el precio del litro de gasolina será igual al salario mínimo.

El siguiente Applet fue creado para hallar el punto de intersección entre un función exponencial y una lineal.

6. Videos

7. Ejercicios para asesorías

1. Trace la gráfica de la función:

f(x)=(1/3)^x

2. Trace la gráfica de la función:

g(x)=(3/2)^x

3. Supongamos que le ofrecen dos formas de pago en su nuevo trabajo.

1. Un sólo pago de un millón de pesos al fin de mes.
2. 2 centavos el primer día, 4 centavos el segundo día , 8 centavos el tercer día, y así, 2ⁿcentavos el n-ésimo día.

¿Usted cuál forma de pago elegiría al finalizar el mes?