7.3 Límites importantes

1. Número de Napier

Lema1: Si r es un número tal que r≠0, entonces 1+r+r²+r³+r⁴+...+rⁿ= (1 - r⁽ⁿ⁺¹⁾) / (1-r)


Demostración:

Sea S=1+r+r²+r³+r⁴+...+r<sup>n

Por lo que: S·r = r+r²+r³+r⁴+...+rn+1</sup>

Entonces

S- S·r = 1 - rⁿ⁺¹

S·(1-r) = 1 - rⁿ⁺¹

S = (1 - rⁿ⁺¹) / (1-r)

Lema2: Si r es un número tal que 0<r<1, entoces 1+r+r²+r³+r⁴+...+ = 1  / (1-r)

Demostración:

Puesto que lím _{n-> +∞} r⁽ⁿ⁺¹⁾=0, por el lema1 se sigue el resultado.

fin de la demostración.



Ahora consideremos la sucesión siguiente:

a_n  = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! +....+ 1/n!

Puesto que para cualquier n, número natural mayor o igual a cero:

a_n = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3!+....+1/n! < 1 + 1 + 1/2 + 1/2² + 1/ 2³ +....+1/ 2ⁿ= 1+[1-(1/2)ⁿ⁺¹] / [1- 1/2] =1 + (2 - 1/2ⁿ) < 3

La sucesión {a_n}_n=0^+∞ es acotada superiormente y creciente, por lo que tiene límite.

lím _{n-> +∞} a_n = e

El número e se llama número de Napier ó Euler.


Teorema: El número e es irracional.

Demostración:

Por definición:

e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! +....+

Supongamos que e=p/q, es decir:

p/q = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! +....+1/q! + 1/(q+1)+ 1/(q+2)! +....

Entonces:

q! p/q = q! [1/0!+ 1/1! + 1/2! + 1/3! +....+1/q! + 1/(q+1)+ 1/(q+2)! +....]

q! p/q = q! + q!/1! + q!/2! + q!/3! + q!/q! + q!/(q+1)! + q!/(q+2)!+....

q! p/q = q!+ q!/1! + q!/2! + q!/3! + q!/q! + 1/(q+1) + 1/(q+1)(q+2)+....    [1]

Ahora bien:

a) q! p/q = p (q-1)!    es un número natural                                  [2]

b) q! + q!/1! + q!/2! + q!/3! + q!/q!  es un número natural.          [3]

c) 1/(q+1) + 1/(q+1)·1/(q+2)+....+ < 1/2 + 1/2 · 1/2 + ......,  es decir,

0<1/(q+1) + 1/(q+1)(q+2)+....+ < 1/2 + 1/2² + 1/ 2³ +....+=1 / (1- 1/2) - 1=1 , es decir,

0<1/(q+1) + 1/(q+1)(q+2)+....+ <1

Pero por [1], [2] y [3], 1/(q+1) + 1/(q+1)(q+2)+....+ es un número natural.

Así que, existe un número natural entre cero y uno, esto es una clara contradicción!

Teorema: lím _{n-> +∞} (1+ 1/n)ⁿ = e

Demostración:

Consideremos  b_n  = (1+ 1/n)ⁿ

Afirmación 1: lím _{n-> +∞} (1+ 1/n)ⁿ   ≤  e

Sea n un numero natural.

Entonces:

n (n-1)(n-2)....(n-(i-1)) ≤ n n n .....n   (i-veces)

Entonces:

n (n-1)(n-2)....(n-(i-1))(n-i)! ≤ nⁱ *(n-i)!  

Por lo que:

n! ≤ nⁱ * (n-i)!

Ahora bien;
 

n! ≤ nⁱ (n-i)! ≤ nⁱ *(n-i)! *i!

Es decir:

n! ≤ nⁱ *(n-i)! *i!

Por lo que:

n! / [nⁱ *(n-i)! *i!] ≤ 1

Así que:

b_n = (1+ 1/n)ⁿ  = ∑_i=0 ⁿ (1/i!) ( n! / [nⁱ *(n-i)! *i!] ) ≤ ∑_i=0 ⁿ (1/i!)= a_n

Es decir:

b_n ≤ a_n.  Para todo n en los naturales.

Habrá que observar:

A) La sucesión (b_n) es creciente.

B) _bn ≤ e,  para todo n, número natural

Por lo que existe el límite de la sucesión b_n, y

lím _{n-> +∞} b_n ≤ lím _{n-> +∞} a_n = e


Afirmación 2:    lím _{m-> +∞} (1+ 1/m)^m   ≥  e

Sea m y n números naturales con n < m.

b_m = 1+1 + 1/2! (1-1/m)+ 1/3!(1-1/m)(1-2/m)+...+1/n!(1-1/m)(1-2/m)....(1-n/m)+...+1/m!(1-1/m)(1-2/m)....(1-(m-1)/m) ≥ 1+1 + 1/2! (1-1/m)+ 1/3!(1-1/m)(1-2/m)+...+1/n!(1-1/m)(1-2/m)....(1-n/m)=c_n
Si definimos la sucesión:

c(n)_m:=1+1 + 1/2! (1-1/m)+ 1/3!(1-1/m)(1-2/m)+...+1/n!(1-1/m)(1-2/m)....(1-n/m)

Entonces;

1) b_m ≥ c(n)_m

2) Existe el límite de la sucesión (c(n)_m) cuando m tiende al infinito, es: a_n, los términos de la sucesión de e


Esto es:

 

lím _{m-> +∞} b_m ≥ lím _{m-> +∞} c(n)_m  = a_n,  para todo número natural n.

Por lo que:

lím _{m-> +∞} b_m ≥ lím _{n-> +∞} a_n = e


De las afirmaciones 1 y 2 tenemos:

lím _{m-> +∞} (1+ 1/m)^m = e




La importancia de expresar la función exponencial en términos de funciones de potencia, se ve reflejado en los siguientes dos hechos:  







Definición: Si a es un número real positivo, x es un número real

a^x:= e ^{x ln(a)}

El número de oro.