7.2 Aritmética de límites
1. Aritmética de límites
Teorema: Sean las sucesiones {an}n=0+∞ , y {bn}n=0+∞ tal que:lím n-> +∞ an = A , lím n-> +∞ bn = B.
Entonces:
- Si k es número real, la sucesión constante {k}n=0+∞ tiene límite: lím n-> +∞ k = k ;
- La sucesión múltiplo constante {k an}n=0+∞ tiene límite: lím n-> +∞ k an = k A ;
- La sucesión suma {an+bn}n=0+∞ tiene límite: lím n-> +∞ (an + bn ) = A + B ;
- La sucesión resta {an- bn}n=0+∞ tiene límite: lím n-> +∞ (an - bn) = A - B ;
- La sucesión producto {an bn}n=0+∞ tiene límite: lím n-> +∞ (an bn) = A B ;
- Si B ≠ 0. La sucesión inverso multiplicativo 1 / bn tiene límite: lím x-> a (1 / bn) = 1 / B.
- Si bn ≠ 0, y B ≠ 0. La sucesión cociente {an / bn}n=0+∞ tiene límite: lím n-> +∞ (an / bn) = A / B .
- Si an >= 0 para n >=N, con N número natural. La sucesión raíz cuadrada {√an}n=0+∞ tiene límite: lím n-> +∞ √ an = √A ;
- Sea r un número real positivo. La sucesión potencia {r an}n=0+∞ tiene límite: lím n-> +∞ r an = r A ;
2. Ejemplos
1. Hallar el límite de la siguiente sucesión: cn= 3 / (1+ 1/n)nSolución: Podemos observar que la sucesión cn se trata del cociente de dos sucesiones, a saber; la sucesión constante an=3 y la sucesión bn =(1+ 1/n)n
cn = an / bn
Ahora bien; lím n-> +∞ an = 3 y lím n-> +∞ bn = e
Por lo tanto; lím n-> +∞ cn = 3 / e
2. Hallar el límite de la siguiente sucesión: dn= (n+1)²/n²
Solución: Hemos de observar que la sucesión dn= (n+1)²/n² es la suma de tres sucesiones, a saber; an= 1, bn=2/n, cn=1/n².
En efecto; dn= (n+1)²/n²=(n²+2n+1)/n²=n²/n² + 2n/n² + 1/n²=1+2/n+1/n²
Puesto que: lím n-> +∞ an = 1, lím n-> +∞ bn = 0 y lím n-> +∞ cn = 0.
Entonces lím n-> +∞ dn = 1 +0 + 0 = 1
3.
4.
3. Ejercicios
Hallar los límites de las siguientes sucesiones.1. lím n-> +∞ 0.5
2. lím n-> +∞ 1/n
3. lím n-> +∞ (1+n)/n
4. lím n-> +∞ n/(n+1) - (n-1)/n
5. lím n-> +∞ (8n³ + 2n² -6n -1)/ 2n³
6. lím n-> +∞ (1 + 1/n)n
7. lím n-> +∞ n Sen(180/n) Ayuda: Hallar el lím n-> +∞ n Sen(180/n)Cos(180/n) y lím n-> +∞ Cos(180/n)