7.1 Límites

1. Ejemplos

1. Consideremos la sucesión:  {5/n}_n=0^+∞

Los primeros elementos de esta sucesión son:

a₁=5/1=5,  a₂=5/2=2.5,  a₃=5/3=1.6^-, a₄=5/4=1.25,   a₅=5/5=1, a₆=5/6=0.83^-

a₁₀₀=5/100=0.05,  a₁₀₀₀=5/1000=0.005, a_1000000=5/1000000=0.000005,..... 

Como puede observarse, cuando la n se hace grande, los términos a_n, se acercan más al 0, ó más bien; la distancia de los términos al 0 se hace cada vez más pequeña.

Por esta razón podemos conjeturar que el límite de esta sucesión es el número 0.

Veamos que: 

lím _{n-> +∞} 5/n = 0

En efecto; para esto, consideremos el número real positivo r=1/10 y la desigualdad siguiente:
 

|5/n-0| < 1/10 

|5/n-0| < 1/10 si, y sólo si, |5/n| < 1/10 si, y sólo si, 5/n < 1/10 si, y sólo si,

(5)(10) < (1)(n) si, y sólo si, 50 < n.  

Por lo tanto; para n₀=50, se cumple que:

Si n > 50, entonces |5/n-0| < 1/10

De la misma manera podemos considerar el número real positivo r=1/1000 y la desigualdad siguiente:
 

|5/n-0| < 1/1000

|5/n-0| < 1/1000 si, y sólo si, |5/n| < 1/1000 si, y sólo si, 5/n < 1/1000 si, y sólo

si, (5)(1000) < (1)(n) si, y sólo si, 5000<n.  

Por lo tanto; para n₀=5000, se cumple que:

Si n > 5000, entonces |5/n-0| < 1/1000

Podemos considerar el número real positivo r=1/1000000 y la desigualdad siguiente:
 

|5/n-0| < 0.000001

|5/n-0| < 1/1000000 si, y sólo si, |5/n| < 1/1000000 si, y sólo si, 5/n < 1/1000000 si, y sólo si, (5)(1000000) < (1)(n) si, y sólo si, 5000000<n.  

Por lo tanto; para n₀=5000000, se cumple que:

Si n > 5000000 , entonces |5/n-0| < 0.000001

En general, al considerar cualquier número real positivo (por pequeño que sea) r y la desigualdad siguiente:
 

|5/n-0| < r

Podemos encontrar un número natural n₀, tal que:

Si n > n₀, entonces |5/n-0| < r

 

2. Límite de sucesión

Definición: El límite de una sucesión {a_n}_n=0^+∞ es un número L, que cumple:

Para todo número real r > 0, existe un número natural n₀ tal que: 

3. Ejercicio para asesoría

1.Conjeturar el límite de las siguientes sucesiones

A.  a_n  = 2/n

B.  b_n  = 3/n²

C.  c_n  = 4/n³

D.  c_n  = 5/n⁶

E.  d_n  = -7/n¹⁰

F.  e_n  = -0.5/n¹⁰⁰

G.  f_n  = n Sen(180/n) Cos(180/n)

H.  g_n  = (1+ 1/n)ⁿ

2. Mostrar que los siguientes límites de sucesiones cumplen la definición de límite.

Esto es;  Si  lím _{n-> +∞} a_n  = L.   Dado el número positivo r, hallar el número natural n₀ que cumple:

Si n > n₀,  entonces  | a_n - L | < r



A. lím _{n-> +∞} 7/n  = 0,   con  r=1/10.

B. lím _{n-> +∞} (3n+1) / 4n = 3/4,   con  r=1/100.

C. lím _{n-> +∞} (n² + n - 1) / (3n² + 1)=1/3,   con  r=1/1000.