4. Función logarítmo

1. Funciones logaritmo

 

Definición: Sea a >0, la función logaritmo en base a se define como:

log_a(x)=y   si y sólo si   a^y=x

Observación: Para  a >0 y a≠1, la función logaritmo en base a cumple:

a) Dominio (log_a)=(0,∞)

 

b) Imagen (log_a)=(-∞, ∞)

2. Propiedades de las funciones logaritmo

Teorema: Sea a >0 y a≠1.

a) log_a(AB)=log_a(A) + log_a(B)

b) log_a(A/B)=log_a(A) - log_a(B)

c) log_a (A^C)=C log_a(A)

3. Gráficas de función logartimo

 

4. Ejemplos

1. Log₁₀ 100=2, ya que 10²=100

2. Log₂ 8=3, ya que 2³=8

3. Log₃ 81=4, ya que 3⁴=81

4. Log_1/2 1/16=4, ya que (1/2)⁴=1/16

5. Supongamos que el salario mínimo en México es de $70 pesos y este se mantiene constante.  Si el litro de gasolina es de $14 pesos y esta se incrementa 1% al mes. ¿Cuánto tiempo tendrá que pasar para que el litro de gasolina sea de $70?.

Solución:
La sucesión que nos describe el precio de la gasolina en el mes n es:


De manera que planteamos la siguiente ecuación:


Aplicando la función logarítmica, tenemos:

Por la propiedad aditiva de la función logarítmica en la multiplicación, tenemos: