5. Operaciones con funciones

1. Operaciones con funciones

Definición: Sean f:A ->C y g:B ->C dos funciones. Entonces:

La función suma f+g: A∩B -> C, se define como:

f+g (x):=f(x)+g(x);

La función resta f-g: A∩B -> C, se define como:

f-g (x):=f(x)-g(x);

La función producto f•g: A∩B -> C, se define como:

f•g (x):=f(x)•g(x);

La función cociente f/g: D -> C, se define como:

f/g (x):=f(x)/g(x);

D={x en A∩B: g(x)≠0}

Definición: Sean f:A ->B y g:B ->C dos funciones. Entonces:

La función composición g ○ f: A -> C, se define como:

g ○ f (x):=g(f(x));

2. Ejemplos

1. Sea f(x)=√x y g(x)=x²+1

Puesto que Dom(f)=[0, +∞), Dom(g)=(-∞, +∞) y [0, +∞) ∩ (-∞, +∞)=[0, +∞),

entonces Dom(f+g)=[0, +∞).

La función suma f+g, está definida por f+g (x):=√x +x²+1.

Así que por ejemplo: f+g (4)=19, f+g (9)=85.

La función resta f - g, está definida por f-g (x):=√x -x²-1.

Así que por ejemplo: f - g (4)=-15, f+g (9)=-79.

La función producto f • g, está definida por f • g (x):=√x⁵+√x

Así que por ejemplo: f •g (4)=34, f•g (9)=246.

La función cociente g / f, está definida por g / f (x):=√x³+ 1/ √x

Así que por ejemplo: g / f (4)=8.5, g / f (9)=82/3.

Obsérvese que Dom(g / f)=(0, +∞).

La función composición f ○ g, está definida por f ○ g (x):=√(x²+1)

Así que por ejemplo: f ○ g (0)=1, f ○ g (1)=√2.

Obsérvese que Dom(f ○ g)=(-∞, +∞)

2. Sean f: R ->R y g: R -> R dos funciones definidas por:

f(x)=Cos(x) y g(x)=π +x

Entonces:

g ○ f (0)=π +1, g ○ f (π)=π - 1, f ○ g (π)= - 1, f ○ g (-π/2)= 0.

3. Ejercicios para asesorías

1. Sea f : R -> R la función definida por f(x)=x²+2x-3 y la función g: R -> R definida por g(x)=3x - 4.

Hallar: f+g (3), f - g (2), f • g (1), f / g (-1), f ○ g (-2), g ○ f (-3)

2. Sea f : R -> R la función definida por f(x)=x³ y la función g: R -> R definida por g(x)=√x.

Hallar: f+g (4), f - g (16), f • g (1), f / g (4), f ○ g (25), g ○ f (9)

3. Sean f: R ->R y g: R -> R dos funciones definidas por:

f(x)=Sen(x) y g(x)=π - x

Hallar:

g ○ f (0), g ○ f (π), f ○ g (π), f ○ g (-π/2).