4.3 Aplicaciones
Aplicaciones de la función logarítmo
1. Escala de Richter
Definición: La magnitud de un terremoto es:
M=log(I/S)
donde I es la intensidad del terremoto y S es la intensidad de un terremoto que produciría un desplazamiento horizontal máximo de 1 μm (10-4 cm)
Ejemplo: Demuestre que la diferencia de magnitud de un grado en la escala de Richter de dos terremotos equivale a una proporción de diez, entre las intensidades de los dos terremotos.
Solución:
Sean I1 y I2 las intensidades de los dos terremotos.
n+1 y n los grados en la escala de ritcher de los dos terremotos respectivamente.
Ahora bien:
Log10(I1 /I2) = Log10(I1/S / I2/S)=Log10(I1 / S) - Log10(I2 / S)=(n+1) - n=1
Esto es;
10=I1 / I2
2. Escala de decibeles
Definición: El nivel de intensidad ß de una fuente de sonido es:
ß= 10 log(I/I0)
donde I0 =10-12 Watts/m2 (Umbral de audición )
La unidad de medida para ß es decibeles y se escribe dB.
Ejemplo: Determinar el nivel de intensidad en W/m² de una conversación normal si se sabe que la intensidad en decibeles es de 50.
Solución:
50= 10 Log10 (I /10⁻12 ).
5= Log10 (I /10⁻12 )
105= I /10⁻12
105= I / (1/1012 )
10⁵ =I * 1012
105 * 10-12=I
10-7=I
0.0000001=I
3. Escala de pH
Definición: El pH de una solución es:
pH= - Log(H+)
donde H+ es la concentración de iones de hidrógeno medida en moles por litros (M).
Una solución es:
a) Neutra, si pH=7;
b) ácida, si pH < 7;
c) básica, si pH > 7.
Ejemplo: Hallar el pH de la cerveza, sabiendo que su concentración de iones de hidrógeno es de H⁺=1 / √10⁹ y determinar que tipo de solución es.
Solución:
pH = -Log10 (H⁺ )
Entonces:
pH = -Log10 (1 / √10⁹) = -Log10 (1 / 104.5)= -Log10 (10-4.5) = 4.5
Puesto que 4.5 < 7, entonces la cerveza es ácida.
4. Crecimiento exponencial
Una población que experimenta un crecimiento exponencial en su número de población en función del tiempo, tiene como modelo la siguiente función:
n(t)=P0 ert
donde t es el tiempo, n(t) denota el número de población en función del tiempo, P0 es la población inicial, e el número de Euler, r es la tasa relativa de crecimiento, expresada como una proporción de la población.
Ejemplo.
Se tiene un cultivo de 480 bacterias. En 5 horas estas bacterias llegan a una poblacion de 1200 bacterias. ¿Cuanto tiempo pasará para que sean 8000 bacterias?
Solución:
Primero vamos hallar la tasa relativa de crecimiento.
480 e r 5=1200
e r 5=1200 / 480
e r 5=2.5
ln(e r 5)=ln(2.5)
r5=ln(2.5)
r=ln(2.5)/5
Por lo que:
n(t)=480 e t ln(2.5)/5
Denota el modelo de crecimiento de las bacterias.
Por lo que planteamos la siguiente ecuación:
8000=480 e t ln(2.5)/5
8000/480= e t ln(2.5)/5
16.5=e t ln(2.5)/5
ln(16.5)= ln(e t ln(2.5)/5 )
ln(16.5)=t ln(2.5)/5
5 ln(16.5)/ln(2.5)=t
15.29=t
En aproximadamente 15 horas y media, la poblacion de bacterias será de 80,000.
5. Ejercicios para asesoría
1. En San Miguel Topilejo, al sur de la ciudad de México, existen 34,600 habitantes en 2010. Si la tasa de crecimiento anual de población es de 15%, determinar en que momento habrá 50,000 habitantes suponiendo que la tasa se mantiene.2. Determine la proporción de intensidad entre dos terremotos ocurridos en México: 8.2 el 19 de Septiembre 1985 y 7.1 el 19 de septiembre 2017.
3. Determinar el nivel de intensidad en W/m² de un concierto de rock si se sabe que la intensidad en decibeles es de 120.
4. Hallar el pH de la cal, sabiendo que su concentración de iones de hidrógeno es de H⁺=1 / √1025 y determinar que tipo de solución es.