8.3 Límites notables
1. Límites notables
Lema 1: límx--->0 Sen(x)=0Demostración:
1. Por el método del emparedado para límites tenemos los siguientes resultados:
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límx--->0+ Sen(x)=0 y límx--->0- Sen(x)=0
2. Por el método de laterales para límites se concluye que: límx--->0 Sen(x)=0
Lema 2: límx--->0 Cos(x)=1
Demostración:
1. Por el método del emparedado para límites y con el Lema 1, tenemos los siguientes resultados:
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límx--->0+ Cos(x)=1 y límx--->0- Cos(x)=1
2. Por el método de laterales para límites se concluye que: límx--->0 Cos(x)=1
Teorema 1. Para la funcion seno se cumple el siguiente límite:
límx-->0 Sen(x) / x = 1.
Demostración:
1. Por el método del emparedado para límites y con el Lema 2, tenemos los siguientes resultados:
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límx--->0+ Sen(x) / x = 1 y límx--->0- Sen(x) / x = 1
2. Por el método de laterales para límites se concluye que: límx--->0 Sen(x) / x = 1
Teorema 2. Para la funcion Coseno se cumple el siguiente límite:
límx-->0 [Cos(x)-1] / x = 0.
Demostración:
[Cos(x)-1] / x = {[Cos(x)-1] / x } [Cos(x)+1] / [Cos(x) +1] = [Cos(x)²-1] / [x * (Cos(x)+1)] =
Sen(x)² / [x * (Cos(x)+1)] = Sen(x) / x * Sen(x) / [Cos(x) +1].
Por lo que:
límx-->0 [Cos(x)-1] / x = límx-->0 {Sen(x) / x * Sen(x) / [Cos(x)+1] } = límx-->0 {Sen(x) / x} * límx-->0 {Sen(x) / [Cos(x)+1]}= 1*0=0.
Proposición: lím h --> +∞ (1+ 1/h)h = e
Demostración:
Sea {xn} una sucesión con lím n --> +∞ xn = +∞
Consideremos la sucesión yn, máximo entero menor o igual a xn:
yn:=[xn]
Por lo que son validas las siguientes desigualdades:
yn ≤ xn < yn +1 ≤ xn+1 < yn +2
Por lo que se cumplen:
(1 + 1/(yn+1)) yn +1 ≤ (1 + 1/xn) xn +1 < (1 + 1/yn) yn +2 = (1 + 1/yn) yn (1 + 1/yn)²
Por lo que:
(1 + 1/(yn+1)) yn +1 ≤ (1 + 1/xn) xn (1 + 1/xn) < (1 + 1/yn) yn (1 + 1/yn)² < e (1 + 1/yn)²
es decir:
(1 + 1/(yn+1)) yn +1 ≤ (1 + 1/xn) xn (1 + 1/xn) < e (1 + 1/yn)²
Tomando limites:
Lím n --> +∞ (1 + 1/(yn+1)) yn +1 ≤ Lím n --> +∞ [(1 + 1/xn) xn (1 + 1/xn)] ≤ Lím n --> +∞ e (1 + 1/yn)²
Es decir:
e ≤ Lím n --> +∞ (1 + 1/xn) xn * Lím n --> +∞ (1 + 1/xn) ≤ e *Lím n --> +∞(1 + 1/yn)²
lo que es lo mismo:
e ≤ Lím n --> +∞ (1 + 1/xn) xn * 1 ≤ e * 1
Finalmente:
Lím n --> +∞ (1 + 1/xn) xn = e
Es decir:
lím h --> +∞ (1+ 1/h)h = e
Corolario: lím x --> 0 (1+ x)1/x = e
Demostración:
Considerando h=1/x, tenemos que: h --> +∞, si y sólo si, x --> 0.
Por lo que:
lím x --> 0 (1+ 1/(1/x))1/x = e
Es decir:
lím x --> 0 (1+ x)1/x = e
Lema: Para la función ln, se cumple el siguiente límite:
límh-->0 ln(1+h) / h =1
Demostración:
límh-->0 ln(1+h) / h = límh-->0 1/ h · ln(1+h) = límh-->0 ln[(1+h) 1/h]=
ln[ límh-->0 (1+h) 1/h ] = ln(e)=1.
Lema: Para la funcion exponencial se cumple el siguiente límite:
límh-->0 (eh -1)/ h =1
Demostración:
Sea eh - 1 = u, entonces eh = 1+u, es decir, h = ln(1+u).
Ahora bien; si h-->0, entonces u-->0.
límh-->0 (eh -1) / h = límu-->0 u / ln(1+u) =1.
2. Rectas asíntotas
Animación de rectas asíntotas de hipérbola como función