8.2 Aritmética de límites

1. Aritmética de límite de funciones

Teorema: Sean f, g y h funciones tal que:

  lím _x->a  f(x) = A ,   lím _x->a g(x) = B_.      

Entonces:

1. Si k es número real, la función constante, k tiene límite: lím _x->a k = k;
2. La función múltiplo constante kf tiene límite: lím _{x-> a} k f(x)  = k A ;
3. La función suma f+g tiene límite: lím _{x-> a} (f + g )(x) = A + B ;
4. La función resta f-g tiene límite: lím _{x-> a} (f - g)(x)  = A - B ;
5. La función producto f g tiene límite: lím _{x-> a} (f g)  = A B ;
6. Si B ≠ 0. La función inverso multiplicativo 1/g tiene límite: lím _{x-> a} (1 / g)(x)  = 1 / B
7. Si B ≠ 0. La función cociente f/g tiene límite: lím _{x-> a} (f / g)(x)  = A / B .
8. Cambio de variable.  Si lím _x->a f(x) = A,  y  lím _{t-> t0} h(t) = a.  Tal que existe r>0 con (t₀-r, t₀+r) \{t₀} con h(t)  ≠ a, entonces  lím _t->t0 f(h(t)) = A
   
   Demostración:
   
   
   
   
   
   
   

2. Ejemplos

Hallar el límite de la siguientes funciones:

1. lím _x->2 7;

Solución: Podemos observar que se trata de la función costante f(x)=7. Por lo que;

lím _x->2 7= 7.

2. lím _x->4 4x²;

Solución: Podemos observar que se trata de la multiplicación función costante 4 x². Además lím _x->4 x²= 16; Por lo que;

lím _x->4 4x²=4 (16)=64.

3. lím _x->3 x+x²;

Solución: Podemos observar que se trata de la función suma (f+g)(x)=x+ x². Donde f(x)=x,  g(x)=x²  y  lím _x->3 x=3,  lím _x->3 x²=9.  Por lo que;

lím _x->3 x+x²=3+9=12.

4. lím _x->5 x²-x;

Solución: Podemos observar que se trata de la función resta (f-g)(x)=x²-x. Donde f(x)=x²,  g(x)=x  y  lím _x->5 x²=25,  lím _x->5 x=5.  Por lo que;

lím _x->5 x²-x=25-5=20.

5. lím _x->π/2 x Sen(x);

Solución: Podemos observar que se trata de la función producto (f g)(x)=x Sen(x). Donde f(x)=x,  g(x)=Sen(x)  y  lím _x->π/2 x=π/2,  lím _x->π/2 Sen(x)=1.  Por lo que;

lím _x->π/2 x Sen(x)=π/2*1=π/2.
 
6. lím _x->π/2 x²/ (Cos(x)+2);

Solución: Podemos observar que se trata de la función cociente (f /g)(x)=x²/ (Cos(x)+2). Donde f(x)=x²,  g(x)=Cos(x)+2  y  lím _x->π/2 x²=π²/4,  lím _x->π/2 Cos(x)+2=2.  Por lo que;

lím _x->π/2 x² / (Cos(x)+2)=(π²/4) / 2=π²/8.

7.



8.


9.

3. Ejercicios

Hallar el límite de la siguientes funciones:

1. lím _x->3 1/4

2. lím _x->4 x³

3. lím _x->-2 x+x³

4. lím _x->-2 x²-x<sup>3

5. lím _x->π/2</sup> x Cos(x)

6. lím _x->π/2 x/ (3+Sen(x))