8.1 Métodos
1. Evaluación
1.1 Ejemplo
1. Hallar el límite de la función f(x)=x² en x=1.
Solución:
Lím x ->1 x² = 1=f(1)
2. Hallar el límite de la función g(x)=cos(x) en x=0.
Solución:
Lím x ->0 cos(x) = 1=g(0)
2. Factorización
2.1 Ejemplo
1. Hallar el límite de la función f(x)=(x²-2x-8) / (x-4) en x=4.
Solución:
Puesto que: las funciones f(x)=(x²-2x-8) / (x-4) y g(x)=x+2 son iguales en todo número x del dominio de ambas funciones excepto en x=4. Esto es;
f(x)=g(x) para todo x, con x ≠ 4.
Entonces
Lím x ->1 (x²-2x-8) / (x-4) = Lím x ->1 x+2
Con el método de evaluación, podemos calcular este último límite.
Lím x ->1 x+2 =6=g(4)
Por lo tanto;
Lím x ->1 (x²-2x-8) / (x-4) = 6
Observación: x+2=(x-4)(x+2)/(x-4), donde x²-2x-8=(x-4)(x+2)
3. Racionalización
3.1 Ejemplo
1. Hallar el límite de la función f(x)=(√x -1) / (x -1) en x=1.
Solución:
Puesto que: las funciones f(x)=(√x -1) / (x -1) y g(x)=1 / (√x +1) son iguales en todo número x del dominio de ambas funciones excepto en x=1. Esto es;
f(x)=g(x) para todo x, con x ≠ 1.
Entonces
Lím x ->1 (√x -1) / (x -1) = Lím x ->1 1 / (√x +1)
Con el método de evaluación, podemos calcular este último límite.
Lím x ->1 1 / (√x +1) =1/2=g(1)
Por lo tanto;
Lím x ->1 (√x -1) / (x -1)= 1/2
Observación: 1 / (√x +1)=(√x - 1) / (x -1) * (√x +1)/(√x +1), donde (√x +1)/(√x +1)=1
4. Emparedado (Sándwich)
4.1 Ejemplo
1. Hallar el límite de la función g(x)=x² Cos(3/x), en x=0.
Solución:
Notemos que:
-1 ≤ Cos(3/x) ≤ 1 para todo x en R
-x² ≤ x² Cos(3/x) ≤ x², para todo x en R
Puesto que: las funciones f(x)=-x² y h(x)=x² tienen el mismo límite en x=0,
Esto es;
Lím x ->0 -x² = Lím x ->0 x²=0
Entonces;
Lím x ->0 x² Cos(3/x) = 0
5. Laterales
5.1 Ejemplo
1. Hallar los límites laterales de la función f(x)=|x|, en x=0.
Solución:
- Límite lateral derecho: Lím x ->0+ |x|
Puesto que si x > 0, entonces f(x)=|x|=x, entonces
Lím x ->0+ |x|=Lím x ->0+ x = 0
Por lo tanto; Lím x ->0+ |x| = 0
- Límite lateral izquierdo: Lím x ->0- |x|
Puesto que si x < 0, entonces f(x)=|x|=-x, entonces
Lím x ->0- |x| = Lím x ->0- - x = 0
Por lo tanto; Lím x ->0- |x| = 0
6. Gráfico
6.1 Ejemplo
1. Hallar los siguientes límites e imagenes de la gráfica de una función f(x).a) Lím x ->-7+f(x), b) Lím x ->-6 ¯ f(x), c) Lím x ->-6+ f(x),
d) Lím x ->-4 ¯ f(x), e) Lím x ->-4+ f(x), f) Lím x ->-2¯ f(x),
g) Lím x ->-2+ f(x), h) Lím x ->0 f(x), i) Lím x ->1 ¯ f(x),
j) Lím x ->1+ f(x), k) Lím x ->2 f(x), l) Lím x ->4 ¯ f(x),
m) Lím x ->4+ f(x), ñ) Lím x ->5 ¯ f(x), o) Lím x ->5+ f(x),
p) Lím x ->6 ¯ f(x), q) Lím x ->6+ f(x), r) Lím x ->7 ¯ f(x),
s) f(-4), t) f(-2), u) f(1), v) f(4).
Solución:
a) Lím x ->-7+f(x)=-4, b) Lím x ->-6 ¯ f(x)=-3, c) Lím x ->-6+ f(x)=-1,
d) Lím x ->-4 ¯ f(x)=2, e) Lím x ->-4+ f(x)=-1, f) Lím x ->-2¯ f(x)=0,
g) Lím x ->-2+ f(x)=0, h) Lím x ->0¯ f(x)=0, i) Lím x ->0+ f(x)=2,
j) Lím x ->2- f(x)=-1, k) Lím x ->2+ f(x)=-1, l) Lím x ->4 ¯ f(x)=-1,
m) Lím x ->4+ f(x)=-2, ñ) Lím x ->5 ¯ f(x)=-3, o) Lím x ->5+ f(x)=-1,
p) Lím x ->6 ¯ f(x)=-2, q) Lím x ->6+ f(x)=0, r) Lím x ->7 ¯ f(x)=3,
s) f(-4)=-1, t) f(-2)=0, u) f(2)=-1, v) f(4)=-2.
Ejercicios
Hallar los siguientes límites1. Lím x ->9 √x + x/3 -1
2. Lím x ->π Cos(x) +2
3. Lím x ->2 (x² +3x-10) / (x-2)
4. Lím x ->1 (x² - 5x + 4) / (x-1)
5. Lím x ->16 (√x -4)/(x-16)
6. Lím x ->25 (x-25) / (√x -5)
7. Lím x ->0 x6 Cos(5/x)
8. Lím x ->0 x Sen(1/x)
9. Si
f(x)=2x+3 si x <1
f(x)=2 si x=1
f(x)=7-2x si x >1
Hallar: a) Lím x ->1+ f(x), b) Lím x ->1- f(x).
10. Hallar los siguientes límites e imagenes de la gráfica de una función f(x).
a) Lím x ->-7+ f(x), b) Lím x ->-6 ¯ f(x), c) Lím x ->-6+ f(x),
d) Lím x ->-4 ¯ f(x), e) Lím x ->-4+ f(x), f) Lím x ->-2¯ f(x),
g) Lím x ->-2+ f(x), h) Lím x ->0 f(x), i) Lím x ->1 ¯ f(x),
j) Lím x ->1+ f(x), k) Lím x ->2 f(x), l) Lím x ->4 ¯ f(x),
m) Lím x ->4+ f(x), ñ) Lím x ->5 ¯ f(x), o) Lím x ->5+ f(x),
p) Lím x ->6 ¯ f(x), q) Lím x ->6+ f(x), r) Lím x ->7 ¯ f(x),
s) f(-4), t) f(-2), u) f(1), v) f(4).
